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高二数学三角函数课件

时间:2017-11-22 编辑:炎英 手机版

  通过教学,要使同学们学会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求相应锐角,能运用锐角三角函数解直角三角形及相关的实际问题。下面是高二数学三角函数课件,希望对大家有帮助。

  一、深入理解锐角三角函数的概念

  1.理解锐角三角函数的定义.

  (1)正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,没有单位,其大小只与角的大小有关,与其所在的直角三角形的大小无关;

  (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化,也都随锐角A的确定而唯一确定,因此它的大小仅与角的大小有关,而与所在的直角三角形的边的长短无关;

  (3)正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号,tanA不是tan与A的积,离开了∠A,“tan”就没有意义了,只有合起来,tanA才表示∠A的正切,sinA、cosA也是如此;

  (4)符号tanA表示∠A的正切,在符号tanA中,习惯省去角的符号“∠”,当用希腊字母α、β等表示角时,其正切中角的符号习惯上也省去,但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时,角的符号“∠”不能省略,sinA、cosA也是如此,如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

  2.应用锐角三角函数的定义.

  例1 (2016甘肃兰州)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=[35],BC=6,则AB=( ).

  A.4 B.6 C.8 D.10

  【分析】先画出图形,在Rt△ABC中,由锐角三角函数定义表示出sinA,将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.

  【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键,做题时边读题边画一个直角三角形,数形结合、看图说话,可避免主观出错.

  二、理解记忆特殊角的三角函数值

  任意角的三角函数值都可以由计算器获取,但由于特殊角的三角函数值常见常用,所以应当记忆,这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

  另外,观察表格,我们还有收获.横着看:正弦值、正切值,随着角度的增大而增大(其中tan30°?tan60°=1=tan45°);余弦值,随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律?对所有的锐角三角函数都成立吗?有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看:sin45°=cos45°;斜着看:sin30°=cos60°,sin60°=cos30°.学习数学,要善于观察、思考,这样才能不断提升自己.

  例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是( ).

  A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2

  【分析】将特殊角的三角函数值代入后,化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

  【评注】本题考查了特殊角的三角函数值,因此,一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

  例3 已知tanA=[23],∠A为锐角,则∠A的取值范围是( ).

  A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°

  C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°

  【分析】要确定∠A的取值范围,只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]<[23]<1,所以tan30°

  【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值,还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

  三、解直角三角形及其应用

  1.直角三角形各元素之间的关系.

  在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系:

  三边之间的关系:a2+b2=c2;

  两个锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;

  边角之间的关系:sinA=cosB=[ac];cosA=sinB=[bc];tanA=[1tanB]=[ab].

  2.解直角三角形的基本类型及解法.

  由此我们知道:在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活,尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

  例4 (2016江苏苏州)长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为( ).

  A.[23]m B.[26]m

  C.([23]-2)m D.([26]-2)m

  【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD,然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.

  【解答】在Rt△ABD中,sin∠ABD=[ADAB],

  ∴AD=4sin60°=[23]m,

  在RtΔACD中,sin∠ACD=[ADAC],

  ∴AC=[23sin45°]=[26]m,故选B.

  【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件,利用已知的边和角求出未知的边,进而解决问题.

  例5 (2016四川巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据所示,则下列关系或说法正确的是( ).

  A.斜坡AB的坡度是10°

  B.斜坡AB的坡度是tan10°

  C.AC=1.2tan10°米

  D.AB=[1.2cos10°]米

  【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度(这个度的意义不是角度),它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,是一个比值,一般用i表示,常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=tanα.

  【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°,选:B.

  【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念:坡度、坡角,理解坡度的含义是解题的关键.

  例5 (2016山东菏泽)南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20[(1+3)]海里的C处,为了防止某国巡警干扰,就请求我国A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.

  【分析】本题属于解直角三角形的应用――方向角问题,认真审题,理解方向是解题的关键.过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的方法,可得出AD,进而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可列出方程,解出x的值后即可得出答案.

  【解答】∠ACD=45°,∠ABD=30°.

  设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,

  在Rt△ABD中,可得BD=[3x],

  又∵BC=20[(1+3)],CD+BD=BC,

  即x+[3x]=20[(1+3)],

  解之得:x=20,

  ∴AC=[2x]=[202](海里).

  答:A、C之间的距离为[202]海里.

  【点评】此题考查了关于方向角方面的实际应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型运用方程求解.

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